[note60969]

Tối đó tôi ngồi một mình trong phòng trong khi nhớ lại cuốc trò truyện với Tetra. Em ấy thật chân thành, năng động và cũng vô cùng tài năng nữa.

Tôi thật lòng muốn em ấy yêu thích môn toán.

Nói truyện với Tetra, tôi cứ như được làm thầy giáo. Nhưng với Miruka thì lại là chuyện khác, tôi phải xoay xở mãi mới theo được kịp. Nói thật thì, Miruka dạy tôi mới đúng, tôi bỗng nhớ ra là cô ấy còn giao bài tập về nhà. Đây cũng là lần đầu tôi phải làm bài tập mà học sinh khác giao.

Bài tập từ Miruka

Trình bày công thức tính tổng các ước của một số nguyên dương n cho trước.

Vẫn biết là bài toán hoàn toàn có thể giải bằng cách tìm tất cả ước rồi cộng tất cả vào với nhau. Nhưng nếu làm thế thì lại gian lận quá. Tôi cũng nghĩ là có cách khác ổn hơn. Và tôi thấy phân tích thành thừa số nguyên tố có vẻ là cách khá có triển vọng.

Tôi nghĩ lại về cái câu đố vào buổi trưa nay, 1024=2^10 , phải có gì đấy chứ nhỉ, tìm cách tổng quát bài toán bằng cách kí hiệu thêm n là luỹ thừa của một số nguyên tố chẳng hạn:

 n=p^m với p là số nguyên tố, m là số nguyên dương

Nếu n = 1024 thì với phương trình này tôi sẽ có p = 2 và m = 10. Vì tôi muốn liệt kê tất cả các ước của n giống như tôi làm với 1024, thì sẽ có như sau:

1, p, p^2, p^3, …, p^m

Vậy với dạng tổng quát n = p^m, tôi có thể tính tổng bằng cách cộng tất cả lại:

(Tổng các ước của n) = 1 + p + p^1 + p^2 + p^3 + … + p^m

Tuy nhiên đây chỉ là dạng tổng quát của một số nguyên dương n viết được dưới dạng n = p^m. Tôi sẽ làm tiếp xem còn có thể khái quát cho các số khác được nữa không, việc này thì cũng không khó lắm. Tôi chỉ cần phân tích số đó ra thành các thừa số nguyên tố rồi tổng quát các thừa số lên là được.

Để viết các thừa số nguyên tố của số nguyên dương n thì có một cách là viết dưới dạng p, q, r là các số nguyên tố và a, b, c là các số nguyên dương, ta sẽ có như sau:

n = p^a × q^b × r^c × … × Úi!

Không được rồi, nếu cứ dùng mãi các kí tự thì chắc chắn là không ổn. Nếu tôi dùng a, b, c … thì rồi cũng sẽ đến p, q, r , và làm mọi thứ rối tung rối mù lên.

Tôi muốn viết cái biểu thức trông phải giống như 2^3 × 3^1 ×7^4… 13^3, trong đó tích các hạng tử ở dạng số nguyên tố^số nguyên[note60970]. Nên các số nguyên tố sẽ được viết dưới dạng p0, p1, p2 và các số nguyên tố dưới dạng a0, a1, a2,…, am. Nhưng vì đã thêm chỉ số phụ xuống bên dưới lên nhìn có hơi lòng vòng một tí, dù vậy thì ít nhất tôi vẫn còn có thể tổng quát được biểu thức. Tôi còn có thể dùng m + 1 để biểu thị số lượng các thừa số nguyên tố của n. Tôi bắt đầu viết lại.

 Bây giờ một số nguyên dương n cho trước, tôi có thể tổng quát các thừa số nguyên tố của nó:

Trong đó p0, p1, p2 là các số nguyên tố và a0, a1, a2, …, am là các số nguyên. Khi n ở trong dạng này, các ước của n sẽ giống như sau:

Trong đó b0, b1, b2, … ,bm là các số nguyên:

bo = một trong các số 0, 1, 2, 3, …,a0

b1 = một trong các số 0, 1, 2, 3, …,a1

b2 = một trong các số 0, 1, 2, 3, …,a2

…

bm = một trong các số 0, 1, 2, 3, …,am

Sau khi viết xong, tôi nhìn lại thì bỗng thấy bài mình trình bày lộn xộn quá. Vẫn biết là để viết được các ước số, ta chỉ cần viết ra các thừa số nguyên tố rồi dần dần thêm số mũ 1, 2, 3, … cho từng cái một là được. Nhưng để khái quát hoá theo cách này thì cần có rất nhiều kí tự.

 Vì tôi đã làm được đến đây nên phần còn lại sẽ đơn giản thôi. Để tìm tổng các ước số tôi chỉ cần cộng chúng lại với nhau.

Tôi ngừng viết, chợt nhận ra là mình đang sai. Vì đây không phải là tổng của các ước mà chỉ là tổng của các ước dưới dạng luỹ thừa của một số nguyên tố thôi. Các ước phải ở dạng sau:

Vì thế để tìm tổ hợp luỹ thừa của các thừa số nguyên tố, ta cần nhân các luỹ thừa của các thừa số nguyên tố lại với nhau. Tôi sẽ viết ra để dễ hiểu hơn.

Tôi đi ngủ trong khi vẫn ngẫm nghĩ xem liệu còn cách nào tốt hơn không… và cũng không dám chắc là cách làm này đúng.