2.5 Tetra

 Vì giảng đường và ngôi trường chính không liền nhau nên phải đi một đoạn ngắn qua sân trường mới tới được. Giảng đường có cấu trúc sàn dốc với bục giảng ở thấp nhất để giúp học sinh có thể quan sát giảng viên làm các thí nghiệm vì thế đây cùng là nơi vô cùng lý tưởng cho các lớp vật lý và hoá học.

Đến nơi, tôi thấy Tetra đang đứng nép mình trong một góc với vẻ mặt vô cùng lo lắng, ôm chặt lấy quyển sổ và cái hộp bút vào ngực.

“. Em ấy nói. ”, em từ trước đã muốn gặp anh để trao đổi, nhưng em không biết làm thế nào, em đành hỏi một cô bạn thì cổ bảo là ở đậy là chỗ lý tưởng để, ừm, gặp mặt anh ạ.”

Chúng tôi ngồi ở một chỗ khá xa giảng đường. Rồi tôi lấy ra lá thư mà em ấy gửi tôi vào sáng nay ra khỏi túi áo.

“Anh đọc thư rồi, nhưng thú thật anh không nhớ đã từng học chung cấp 2 với em.”

“Anh không nhớ cũng không sao đâu ạ.”

“Mà sao em biết anh vậy? Anh nhớ cấp 2 anh cũng không có gì nổi bật lắm.” Mình dành hết thời gian rảnh trong thư viện thì nổi kiểu gì nhỉ.

“Thực ra… anh cũng khá nổi tiếng đó.”

“Dù em có nói vậy thì…” Tôi cầm lá thư lên. “Mà, về lá thư này, em gặp khó khăn về toán à? ”

“Vâng ạ. Hồi còn ở cấp 1 em vẫn học toán bình thường. Em vẫn làm được bài tập và học tốt các kiến thức mới. Nhưng lên cấp 2 thì mọi thứ khác hẳn, em có cảm giác mình học nhưng không thực sự hiểu gì. Giáo viên toán còn bảo lên cấp 3 toán sẽ khó hơn rất nhiều vì thế em phải thật chú tâm vào môn học để theo kịp. Em cũng cố học như vậy, nhưng giờ em muốn hiểu bản chất của toán thay vì chỉ chăm chăm học thuộc những cái viết trong sách.”

“Em lo lắng về điểm số à?”

Tetra đặt ngón tay cái lên môi. “Không phải đâu ạ”. Ánh mắt của em ấy lấp ló đằng sau tóc mái trộm nhìn lấy tôi. Em ấy bây giờ nom như một loài động vật nhỏ bé nhút nhát vậy, một bé mèo con chăng, hay một bé sóc cũng đúng. ”Em làm được những dạng bài quen thuộc, nhưng khi đề biến đổi khác đi hay hỏi lắt léo hơn thì em lại làm tệ hơn nhiều. ”

“Em theo kịp kiến thức thầy cô dạy trên lớp không?”

“Có ạ”.

“Em có thể làm hết các dạng bài tập thầy cô cho về nhà chứ?”.

“Cũng có ạ, nhưng em cảm thấy cứ cấn cấn chỗ nào ấy.”

“Vậy là khá ổn rồi” tôi gật gù.”Đến lúc học để hiểu rồi”.

2.5.1 Định nghĩa về số nguyên tố

“Ta cùng bắt đầu với vài ví dụ cụ thể nhé” Tôi nói. “Em có biết số nguyên tố là số như thế nào không?”

“Có ạ” em ấy nói.

“Vậy hả? Thế cho anh định nghĩa xem nào.”

“Dạ, 5 và 7 là số nguyên tố ạ.”

“Đúng, nhưng đấy là ví dụ, anh cần định nghĩa cơ.”

“Số nguyên tố ạ... là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó đúng không anh? Hồi đó thầy giáo hay dạy em như vậy.”

“Ừm. Vậy nếu việt lại lời của em thì ta sẽ có như sau:

 Số nguyên dương p là số nguyên tố khi nó chỉ chia hết cho một và p.

Tôi đưa cho Tetra xem quyển vở. “Đây là định nghĩa của em đúng không?”

“Vâng ạ.”

“Chỉ mới gần đúng thôi.”

“Nhưng 5 là số nguyên tố nên nó chỉ chia hết cho 1 và 5 mà.”

“Định nghĩa của em đúng với 5 nhưng nếu p là 1 thì sao, theo như em thì 1 cũng là số nguyên tố vì nó chỉ chia hết cho 1 và p. Nhưng dãy số nguyên tố lại bắt đầu bằng 2, như sau:”

2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, …

“Dạ, em quên mất là 1 không phải là số nguyên tố.” Tetra nói. “Nhưng giờ em nhớ rồi ạ.”

“Vì định nghĩa của em còn thiếu nên sẽ có vài cách để bổ sung. Em có thể viết thêm vào cuối chẳng hạn: ”

Một số nguyên dương p là số nguyên tố khi nó chia hết cho một và chính nó. Nhưng 1 không phải số nguyên tố.

“Còn cách khác chặt chẽ hơn là viết bổ sung lên đầu câu:”

Một số nguyên p lớn hơn 1 là số nguyên khi nó chia hết cho 1 và chính nó.

“Nếu em muốn rõ ràng hơn nữa thì cũng có thể viết dưới dạng biểu thức toán học:”

 Một số nguyên p > 1 là số nguyên tố khi nó chỉ chia hết cho 1 và p.

“Những định nghĩa này đều đúng rồi ạ” Tetra ngước mắt lên khỏi quyển sổ. “Dù người ta bảo 1 không phải là số nguyên tố nhưng em vẫn thắc mắc tại sao lại như vậy, chẳng lẽ ai quy định như vây sao? Hay là còn lý do nào nữa ạ.”

“Cần một lý do à?” Tôi khẽ nhướn mày.

“Liệu có một lý thuyết cao siêu hay một lý do nào quy định như vậy không ạ?”

Những câu hỏi kiểu này đều vô cùng thú vị, tôi thấy hiếm có người nào thực tâm muốn hiểu tường tận vấn để như vậy .

“Câu hỏi này hơi ngốc quá đúng không ạ?” Tetra hỏi

“Không hề, câu hỏi hay là đằng khác. 1 không phải là số nguyên tố vì tính đơn nhất của phân tích một số thành thừa số nguyên tố đấy.”

“Tính đơn nhất gì ạ? Em không hiểu.”

“Nó là một tính chất cơ bản của số học, rằng một số nguyên dương n bất kỳ sẽ chỉ biểu diễn được bằng một tích của các thừa số nguyên tố duy nhất. Ví dụ số 24, sẽ chỉ có một tích của các thừa số nguyên tố là 2 × 2 × 2 × 3. Nếu em muốn thì vẫn có thể viết lại thành 2 × 2 × 3 × 2 hay 3 × 2 × 2 × 2, nhưng sẽ đều cho ra kết quả giống nhau, chỉ có thứ tự của các thừa số là khác nhau. Vì thế tính đơn nhất trở nên vô cùng quan trọng, và cũng để tránh ảnh hưởng đến tính đơn nhất, người ta không coi 1 là số nguyên tố.

Giờ thì đến lượt Tetra nhướn mày. “Ý là ta có thể định nghĩa một điều khác đi để không ảnh hưởng đến những cái khác ạ?”

“Nếu nói vậy cũng đúng nhưng hơi quy chụp quá.” Tôi đặt chiếc bút chì lên quyển vở. “Sao ta không nghĩ theo hướng khác nhỉ: Rằng các nhà toán học luôn tìm kiếm những điều có ích để tạo nên những nền tảng toán học hoàn chỉnh. Rồi khi họ tìm được một điều hữu ích, nó sẽ được đặt một cái tên, hiểu theo toán học thì đó là định nghĩa. Vì thế em có thể coi 1 là số nguyên tố nếu muốn. Nhưng một định nghĩa “khả thi” thì chưa chắc đã hữu dụng. Nếu 1 cũng là số nguyên tố như định nghĩa em thì ta sẽ mất đi tính đơn nhất của phân tích thừa số nguyên tố, nên định nghĩa này sẽ không hữu dụng lắm. Giờ em đã thấy có lý hơn chưa nào. Về tính đơn nhất ấy?”

“Em nghĩ là em hiểu rồi ạ.”

“Vậy à? Em nghĩ vậy thì bản thân em đã hiểu rồi đấy.”

“Nhưng đấy là em nghĩ vậy, nếu em không biết là mình thực sự có hiểu được hay không thì làm sao bảo đảm được ạ?”

“Bằng ví dụ chẳng hạn. Ví dụ thì không phải là định nghĩa, nhưng các ví dụ hay lại là cách để kiểm tra người đó có hiểu hay không.” Tôi viết vào cuốn số câu hỏi rồi đưa cho Tetra:

Đưa ra một ví dụ chứng minh nếu 1 là số nguyên tố sẽ là mất đi tính đơn nhất của phân tích thừa số nguyên tố.

“Dạ” Tetra trả lời. “Nếu 1 là số nguyên tố, ta sẽ có nhiều cách phân tích 24 thành thừa số nguyên tố.”

2 × 2 × 2 × 3

1 × 2 × 2 × 2 × 3

1 × 1 × 2 × 2 × 2 × 3

“Chính xác” tôi nói ”Em thấy chứ? Để hiểu được tường tận thì các ví dụ vô cùng quan trọng”. Khuôn mặt em ấy hiện rõ lên vẻ nhẹ nhõm. “Mà còn điều này nữa”, tôi nói tiếp “thay vì nói “nhiều”, em nên nói là “vô số” hay là “có hơn 2 cách” vì như thế sẽ…”[note60219]

“Chính xác hơn ạ” Tetra nói nốt câu.

“Đúng vậy. Từ “nhiều” quá mơ hồ, ta không thể biết được “nhiều” là bao nhiêu cả.”

“Bây giờ em mới biết từ ngữ trong toán học quan trọng đến thế nào - từ định nghĩa, ví dụ, phân tích thừa số nguyên tố. Vậy mà lúc trước em không nhận ra tầm quan trọng của nó.

“Em nhận ra được là rất tốt đấy. Ngôn ngữ trong toán học đóng vai trò rất quan trọng. Toán học sử dụng ngôn ngữ vô cùng cụ thể để tránh nhầm lẫm. Và phương trình là ngôn ngữ cụ thể nhất trong toán”.

“Phương trình cũng là một loại ngôn ngữ ạ?”

“Không phải là ngôn ngữ không thôi đâu mà là ngôn ngữ toán học đấy, chốc nữa em sẽ thấy”. Tôi nhìn quanh giảng đường một lượt. “Anh sẽ dùng bẳng đen viết cho dễ hiểu nhé. Đi nào”.

Tôi đi xuống cầu thang giữa giảng đường. Nhưng vừa mới được vài bước thì tôi chợt nghe đằng sau có tiếng ré lên, Tetra va vào tôi, tí nữa làm cả hai cùng ngã xõng xoài.

“Em xin lỗi!” Tetra vội vàng nói “Em bị trượt chân vì vấp phải cầu thang, em xin lỗi ạ!”

“Không sao đâu em” tôi đành nói.

Nhìn có vẻ nhiều việc hơn mình tưởng rồi.

2.5.2 Định nghĩa về giá trị tuyệt đối

Chúng tôi bình an vô sự đến cái bảng đen mà không gây thêm sự cố nào nữa. Tôi lấy viên phấn rồi quay sang Tetra “Em có nhớ giá trị tuyệt đối là gì không?”

“Em nghĩ là có ạ. Giá trị tuyệt đối của 5 là 5 và giá trị của -5 cũng là 5 luôn. Ta chỉ cần bỏ dấu trừ thôi đúng không anh?”

“Cũng gần gần vậy. Giờ hãy ta thử viết định nghĩa đi. Nếu có chỗ nào không hiểu hỏi anh” nói rồi tôi viết định nghĩa lên bảng.

“Em nhớ hồi trước đã được học nhưng có chỗ em vẫn thắc mắc mãi. Nếu muốn giá trị tuyệt đối của x thì chỉ cần bỏ dấu trừ đi, sao dấu trừ lại có trong định nghĩa ạ?”

“Ừm, cụm từ “bỏ dấu trừ” nghe mơ hồ trong toán học lắm. Anh hiểu ý em muốn nói. Em đang đi đúng hướng rồi đấy”

“Vậy nói là thay dấu trừ bằng dấu cộng được không ạ?”

“Nói vậy vẫn mơ hồ lắm. Ví dụ thế này đi, em thử viết trị tuyệt đối của –x đi :”

|-x|

“Vậy thì” Tetra nói tiếp “Ta chỉ cần bỏ dấu trừ và để x lại đúng không ạ?”

|-x|=x

“Không hẳn. Nếu x = -3 thì em tính thế nào?”

Tetra cũng lấy một viên phấn để viết. “Dạ…”

|- x| = |- (-3)| vì x = -3

= |3| vì -(-3) = 3

= 3 vì |3| = 3

“Chính xác ” Tôi nói tiếp “nếu theo định nghĩa của em, |-x|=x thì ta sẽ có |-x| = -3. Nhưng trong bài này thì |-x|=3 hay cũng có nghĩa là |-x| = -x.”

Tetra nhìn một lúc lâu vào bảng “Dạ, em hiểu rồi, vì x không có dấu nên em không nghĩ là x có thể là số âm như -3. Nhưng khi dùng các kí tự để đặt ẩn như là x trong toán thì phải nhìn bao quát hơn đúng không ạ- vì các kí tự cho phép ta định nghĩa mọi thứ mà không phải liệt kê tất cả các trường hợp.”

“Đúng vậy”. Tôi đáp lại. “Chỉ nói “bỏ dấu trừ” không đủ chặt chẽ. Em phải nhìn bao quát hơn, nghĩ về tất cả trường hợp, không để sót điều gì.”

Tetra chậm rãi gật đầu”Em sẽ cố gắng để làm quen ạ”. Rồi em ấy ngồi huỵch xuống chiếc ghế, bắt đầu vân vê góc quyển vở của ẻm trong khi não nề nói “Nghĩ lại thì em mình chỉ có lãng phí cả thời cấp 2.”

Tôi vẫn yên lặng chờ đợi em ấy tiếp lời.

 “Em học nhưng lại chẳng hiểu rõ các định nghĩa, các phương thực sự như thế nào. Em thấy bản thân thật bộp chộp và cẩu thả.”

Nói rồi Tetra thở dài thườn thượt.

“Chuyện đã qua rồi mà em” Tôi đáp lại.

“Dạ?”

“Từ giờ trở đi vẫn em có thể thay đổi bản thân được mà.”

Em ấy đứng đậy với đôi mắt mở to.

“Vâng ạ. Em không thể thay đổi được bản thân trong quá khứ, nhưng nếu bây giờ thì có thể ạ.”. Tôi mỉm cười. “Anh cảm thấy rất vui vì có thể giúp em trong việc học, nhưng hôm nay tạm vậy đã,trời cũng sắp tối rồi, lần tới ta cùng bàn luận tiếp nhé.”

“Lần tới ạ?”

“Anh thường ở thư viện sau giờ học. Nếu em có thắc mặc gì thì cứ đến đấy hỏi anh nhé. ”